Probabilité : Somme de variables aléatoires - Spécialité

Opérations sur les variables aléatoires

Exercice 1 : Calculs sur les espérances et les écarts-types

Un célèbre parc d'attraction souhaite prévoir ses résultats financiers à l'année.
Les gérants du parc ont noté \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de visiteurs par jour. Après quelques mesures, ils ont remarqué que l'espérance de \(X\) était de 498 personnes et son écart-type de 25 personnes.
Un ticket d'entrée au parc coûte 13 €, pour tout type de visiteur.

Quelle est la variance de \(X\) ?

Quelle est l'espérance de la recette quotidienne du parc ?

Quelle est l'espérance de la recette annuelle du parc ?
On suppose que l'année n'est pas bissextile et que le parc est ouvert tous les jours.

Quel est l'écart-type de la recette quotidienne du parc ?

Quel est l'écart-type de la recette annuelle du parc ?
On suppose que l'année n'est pas bissextile et que le parc est ouvert tous les jours.

Exercice 2 : Situation concrète de somme de variables aléatoires

Une carte de grattage comporte deux cases.
La première case suit la loi de probabilité \( X \) suivante :

\(x_i\)	\(0 €\)	\(2 €\)
\(P(X=x_i)\)	\(0,3\)	\(0,7\)

La seconde case suit la loi de probabilité \( Y \) suivante :

\(y_i\)	\(1 €\)	\(2 €\)	\(3 €\)
\(P(Y=y_i)\)	\(0,2\)	\(0,4\)	\(0,4\)

Déterminer l'espérance de gain pour la première case à gratter.

Déterminer l'espérance de gain pour la seconde case.

Déterminer la loi de la variable aléatoire \( Z = X + Y \).
On remplira la première ligne par ordre croissant, sans préciser d'unité.

Exercice 3 : Définir les valeurs prises par une somme de variables aléatoires en Python

On considère la fonction generation définie en Python à l'aide d'une fonction randint qui prend deux entiers \( a\text{, }b \) en paramètres et renvoie un entier aléatoire \( r \) tel que \( a \leq r \leq b \).


    def generation():
        de_un = randint(1, 20)
        de_deux = randint(2, 14)
        de_trois = randint(0, 6)
        s = de_un + de_deux + de_trois
        return s

Quelle est la plus petite valeur que peut renvoyer la fonction generation ?

Quelle est la plus grande valeur que peut renvoyer la fonction generation ?

Exercice 4 : Comprendre les sommes de variables aléatoires

On considère deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \) définies par les lois de probabilités suivantes :

\(x_i\)	\(0\)	\(4\)
\(P(X=x_i)\)	\(0,9\)	\(0,1\)

\(y_i\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)
\(P(Y=y_i)\)	\(0,2\)	\(0,75\)	\(0,05\)

On définit \( Z = X + Y \).

Déterminer la loi de probabilité de Z.
La première ligne devra impérativement être ordonnée par ordre croissant.

Exercice 5 : Variance de la transformation affine d'une variable aléatoire

Soit \( F \) une variable aléatoire d'espérance \( E(F) = -8 \) et de variance \( V(F) = 9 \).
On définit la variable aléatoire \( G \) par \( G = 8 -9F \).

Donner la valeur de la variance de cette variable aléatoire \( V(G) \).

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